`:top
Das `!Potts-Modell`! ist ein `F33f`_`[mathematisches Modell`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematisches_Modell]`_`f, welches das in der `F33f`_`[statistischen Physik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Statistische_Physik]`_`f häufig verwendete `F33f`_`[Ising-Modell`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ising-Modell]`_`f verallgemeinert. Auf einem Gitter befinden sich statt `F33f`_`[Spins`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spin]`_`f mit nur zwei Zuständen, wie im Ising-Modell, Variablen mit q {\\displaystyle q} verschiedenen Zuständen. Im einfachsten Fall beschränkt sich die Wechselwirkung auf benachbarte Gitterplätze.
Angewendet wird dieses Modell unter anderem, außer in der statistischen Physik (insbesondere beim Studium von `F33f`_`[Phasenübergängen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Phasenübergang]`_`f), auch in der `F33f`_`[Informatik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Informatik]`_`f (`F33f`_`[Signalverarbeitung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Signalverarbeitung]`_`f) und der Biologie (`F33f`_`[neuronale Netze`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Neuronales_Netz]`_`f). Das Modell wurde nach `F33f`_`[Renfrey Potts`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Renfrey_Potts]`_`f benannt, welcher das Modell 1951 in seiner Dissertation definierte. Einen Spezialfall behandelten schon 1943 `F33f`_`[Julius Ashkin`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Julius_Ashkin]`_`f und `F33f`_`[Edward Teller`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Edward_Teller]`_`f. Einen Überblick zu Geschichte und Analyse des Modells gibt ein Übersichtsartikel von Fa-Yueh Wu aus dem Jahr 1982.
>>Contents
• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f
• `F0af`_`[Planares Potts-Modell`#planares-potts-modell]`_`f
• `F0af`_`[Standard-Potts-Modell`#standard-potts-modell]`_`f
• `F0af`_`[Verhältnis zu anderen statistischen Modellen`#verh-ltnis-zu-anderen-statistischen-modellen]`_`f
• `F0af`_`[Allgemeine Version`#allgemeine-version]`_`f
• `F0af`_`[Das Ising-Modell als Spezialfall`#das-ising-modell-als-spezialfall]`_`f
• `F0af`_`[Das XY-Modell als Spezialfall`#das-xy-modell-als-spezialfall]`_`f
• `F0af`_`[Ashkin-Teller-Modell`#ashkin-teller-modell]`_`f
• `F0af`_`[Sonstige`#sonstige]`_`f
• `F0af`_`[Diskussion`#diskussion]`_`f
• `F0af`_`[Potts-Maß`#potts-ma]`_`f
• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f
• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f
-─
>>Definition
Die Unterscheidung von planarem und Standard-Potts-Modell stammt von `F33f`_`[Cyril Domb`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Cyril_Domb]`_`f (1974)`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f].
>>>Planares Potts-Modell
Das Potts-Modell besteht aus einem d {\\displaystyle d} -dimensionalen `F33f`_`[Gittergraphen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gittergraph]`_`f L ( V , E ) {\\displaystyle L(V,E)} , z. B. einem zweidimensionalen Rechteckgitter, einer Menge von Knotenbelegungen S ′ | V | {\\displaystyle S'^{|V|}} (Knotenkonfigurationen) und einem `F33f`_`[Hamiltonoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hamiltonoperator]`_`f H ′ {\\displaystyle H'} auf dieser Menge. Jeder Knoten wird belegt mit einem Element aus der Menge
S ′ = { θ θ s = 2 π π s q , 0 ≤ ≤ s ≤ ≤ q } q ∈ ∈ { 2 , 3 , … … } {\\displaystyle S'=\\{\\theta _{s}={\\frac {2\\pi s}{q}},0\\leq s\\leq q\\}\\quad q\\in \\{2,3,\\ldots \\}}
Diese können als Punkte auf dem 2-dimensionalen `F33f`_`[Einheitskreis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einheitskreis]`_`f interpretiert werden und sind die Richtungen, die die „Spins“ auf den jeweiligen Gitterpunkten annehmen können.
Der Hamiltonoperator ist im planaren Potts-Modell (auch Vektor-Potts-Modell oder Uhren-Modell, `*clock model`*) gegeben durch
H ′ ( σ σ ) = J 1 ∑ ∑ ⟨ ⟨ i , j ⟩ ⟩ ∈ ∈ E cos ( θ θ s i − − θ θ s j ) , σ σ = ( θ θ s 1 , θ θ s 2 , … … ) ∈ ∈ S ′ | V | . {\\displaystyle H'(\\sigma )=J_{1}\\sum _{\\langle i,j\\rangle \\in E}\\cos(\\theta _{s_{i}}-\\theta _{s_{j}}),\\quad \\sigma =(\\theta _{s_{1}},\\theta _{s_{2}},\\dots )\\in S'^{|V|}.}
Summiert wird über alle benachbarten Knoten ⟨ ⟨ i , j ⟩ ⟩ {\\displaystyle \\langle i,j\\rangle } für i , j ∈ ∈ V {\\displaystyle i,j\\in V} . Die `F33f`_`[Kopplungskonstante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kopplungskonstante]`_`f J 1 {\\displaystyle J_{1}} beschreibt die Wechselwirkung zwischen Spins auf den benachbarten Knoten.
>>>Standard-Potts-Modell
Alternativ zum gerade beschriebenen planaren Potts-Modell gibt es das Standard-Potts-Modell (oder einfach: Potts-Modell). Dabei werden die Knoten belegt mit Elementen aus der Menge
S = { 0 , 1 , … … , q } {\\displaystyle S=\\{0,1,\\dots ,q\\}} .
Der Hamiltonoperator ist hier gegeben durch
H ( σ σ ) = − − J ∑ ∑ ⟨ ⟨ i , j ⟩ ⟩ ∈ ∈ E δ δ ( s i , s j ) , σ σ = ( s 1 , s 2 , … … ) ∈ ∈ S | V | , {\\displaystyle H(\\sigma )=-J\\sum _{\\langle i,j\\rangle \\in E}\\delta (s_{i},s_{j}),\\quad \\sigma =(s_{1},s_{2},\\dots )\\in S^{|V|},}
wobei δ δ {\\displaystyle \\delta } das `F33f`_`[Kronecker-Delta`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kronecker-Delta]`_`f ist.
Das heißt, falls zwei benachbarte Knoten verschiedene Werte der Spins besitzen, verschwindet der entsprechende Summand. Das negative Vorzeichen von J {\\displaystyle J} ist eine Konvention, motiviert vom Ising-Modell. Das Standard-Potts-Modell ist `F33f`_`[ferromagnetisch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ferromagnetisch]`_`f für J > 0 {\\displaystyle J>0} und `F33f`_`[antiferromagnetisch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Antiferromagnetisch]`_`f für J < 0 {\\displaystyle J<0} .
>>Verhältnis zu anderen statistischen Modellen
>>>Allgemeine Version
Auf dem Gittergraphen L ( V , E ) {\\displaystyle L(V,E)} mit der Menge der Knotenbelegungen { 1 , 2 , … … , q − − 1 } | V | {\\displaystyle \\{1,2,\\dots ,q-1\\}^{|V|}} kann eine allgemeinere Version des Potts-Modells definiert werden:
H ( σ σ ) = − − ∑ ∑ ⟨ ⟨ i , j ⟩ ⟩ ∈ ∈ E J i j δ δ ( s i , s j ) − − β β − − 1 ∑ ∑ i ∈ ∈ { 1 , 2 , … … | V | } h i s i , σ σ = ( s 1 , s 2 , … … ) ∈ ∈ S | V | . {\\displaystyle H(\\sigma )=-\\sum _{\\langle i,j\\rangle \\in E}J_{ij}\\delta (s_{i},s_{j})-\\beta ^{-1}\\sum _{i\\in \\{1,2,\\dots \\,|V|\\}}h_{i}s_{i},\\quad \\sigma =(s_{1},s_{2},\\dots )\\in S^{|V|}.}
Im Unterschied zum ursprünglichen Modell variiert die Wechselwirkung zwischen den benachbarten Knoten. Außerdem kann ein äußeres Feld ergänzt werden:
− − β β − − 1 ∑ ∑ i ∈ ∈ { 1 , 2 , … … , | V | } h i s i {\\displaystyle -\\beta ^{-1}\\sum _{i\\in \\{1,2,\\dots ,|V|\\}}h_{i}s_{i}}
Hierbei ist wie üblich β β = 1 k B T {\\displaystyle \\beta ={\\tfrac {1}{k_{\\mathrm {B} }T}}} mit der `F33f`_`[Boltzmann-Konstanten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Boltzmann-Konstante]`_`f k B {\\displaystyle k_{\\mathrm {B} }} und der `F33f`_`[Temperatur`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Absolute_Temperatur]`_`f T {\\displaystyle T} .
Die Wechselwirkungen J i j {\\displaystyle J_{ij}} müssen nicht auf nächstbenachbarte Gitterplätze beschränkt werden. In `*verdünnten Potts-Modellen`* gibt es freie Gitterplätze (`*Gitter-Gas`*) oder auch Wechselwirkungen verschiedener Stärke. Durch geeignete `F33f`_`[Randbedingungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Randbedingungen]`_`f können interessante Effekte, wie z. B. `F33f`_`[Benetzung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Benetzung]`_`f`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f] oder Grenzflächen`F33f`_`[adsorption`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Adsorption]`_`f`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f], induziert werden.
>>>Das Ising-Modell als Spezialfall
Setzt man q = 2 {\\displaystyle q=2} , so folgt aus dem Potts-Modell das `F33f`_`[Ising-Modell`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ising-Modell]`_`f.
>>>Das XY-Modell als Spezialfall
Für q → → ∞ ∞ {\\displaystyle q\\to \\infty } erhält man das `F33f`_`[XY-Modell`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=XY-Modell]`_`f, welches wiederum als Spezialfall des `F33f`_`[N-Vektor-Modells`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=N-Vektor-Modell]`_`f mit N = 2 {\\displaystyle N=2} verstanden werden kann. Betrachtet man das planare Potts-Modell, so ist der `F33f`_`[Zustandsraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zustandsraum]`_`f der Spins keine endliche `F33f`_`[Teilmenge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilmenge]`_`f des Einheitskreises, sondern der `*ganze`* 2-dimensionale Einheitskreis.
>>>Ashkin-Teller-Modell
Das Ashkin-Teller-Modell ist das planare Potts-Modell mit q = 4 {\\displaystyle q=4} Zuständen.
>>>Sonstige
Es gibt auch Verbindungen zum `F33f`_`[Heisenberg-Modell`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Heisenberg-Modell]`_`f, N-Vektor-Modell, (ice-rule-)Vertex-Modellen und zur `F33f`_`[Perkolationstheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Perkolationstheorie]`_`f (zuerst von P.W. Kasteleyn und C.M. Fortuin 1969`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f] für Bond-Perkolation, später auch für Site-Perkolation).
Das `F33f`_`[Kirchhoffsche Gesetz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kirchhoffsche_Regeln]`_`f für Netzwerke aus linearen Widerständen ergibt sich als q = 0 {\\displaystyle q=0} Grenzwert des Potts-Modells (Kasteleyn, Fortuin 1972).
>>Diskussion
Potts betrachtete das planare Modell und konnte ähnlich wie beim Ising-Modell mit Kramers-Wannier-Dualität den kritischen Punkt bestimmen für das Rechteckgitter und q = 2 , 3 , 4 {\\displaystyle q=2,3,4} . Am Ende seiner Arbeit gab er den kritischen Punkt des Standard-Potts-Modells für alle q {\\displaystyle q} .
Das planare und das Standard-Modell sind identisch für q = 2 {\\displaystyle q=2} (Ising-Modell) mit J = 2 J 1 {\\displaystyle J=2J_{1}} und für q = 3 {\\displaystyle q=3} mit J = 3 2 J 1 {\\displaystyle J={\\tfrac {3}{2}}J_{1}} . Außerdem ist das planare Modell mit q = 4 {\\displaystyle q=4} für beliebige Gitter auf das Modell mit q = 2 {\\displaystyle q=2} `F33f`_`[reduzierbar`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reduzierbar]`_`f. Für q > 4 {\\displaystyle q>4} gibt es dagegen keine offensichtlichen Bezüge zwischen dem planaren und dem Standard-Modell.
Auf einem zweidimensionalen Gitter hat das Potts-Modell mit J > 0 {\\displaystyle J>0} einen `F33f`_`[Phasenübergang erster Ordnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Phasenübergang]`_`f für q > 4 {\\displaystyle q>4} und ansonsten einen kontinuierlicher Phasenübergang (2. Ordnung) wie beim Isingmodell ( q = 2 {\\displaystyle q=2} ) (`F33f`_`[Rodney Baxter`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Rodney_Baxter]`_`f 1973, 1978). Baxter benutzte dabei die Identifizierung des zweidimensionalen Potts-Modells mit dem Ice-rule-Vertexmodell durch Temperley und `F33f`_`[Elliott Lieb`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elliott_Lieb]`_`f (1971 für ein Gitter aus Quadraten).
Das eindimensionale Potts-Modell ist exakt lösbar (mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode) und ebenso das zweidimensionale Modell mit Wechselwirkungen zwischen benachbarten Gitterplätzen. Im Allgemeinen liefern insbesondere `F33f`_`[Monte-Carlo-Simulationen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Monte-Carlo-Simulation]`_`f`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f] und die `F33f`_`[Renormierungsgruppentheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Renormierungsgruppe]`_`f verlässliche Ergebnisse.
>>Potts-Maß
Mit der `F33f`_`[Hamilton-Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hamilton-Funktion]`_`f wie oben
H ( σ σ ) = − − J ∑ ∑ ⟨ ⟨ i , j ⟩ ⟩ ∈ ∈ E δ δ ( s i , s j ) , σ σ = ( s 1 , s 2 , … … ) ∈ ∈ S | V | . {\\displaystyle H(\\sigma )=-J\\sum _{\\langle i,j\\rangle \\in E}\\delta (s_{i},s_{j}),\\quad \\sigma =(s_{1},s_{2},\\dots )\\in S^{|V|}.}
und der üblichen Definition der `F33f`_`[Zustandssumme`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zustandssumme]`_`f Z {\\displaystyle Z}
Z ( β β ) = ∑ ∑ σ σ ∈ ∈ S | V | e − − β β H ( σ σ ) , β β ∈ ∈ ] 0 , ∞ ∞ [ . {\\displaystyle Z(\\beta )=\\sum _{\\sigma \\in S^{|V|}}e^{-\\beta H(\\sigma )},\\quad \\beta \\in {]0,\\infty [}.}
kann man das Potts-Maß π π {\\displaystyle \\pi } definieren, das als `F33f`_`[Wahrscheinlichkeitsmaß`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wahrscheinlichkeitsmaß]`_`f zu den `F33f`_`[Boltzmannverteilungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Boltzmann-Statistik]`_`f gehört:
π π ( σ σ ) = Z ( β β ) − − 1 e − − β β H ( σ σ ) , σ σ ∈ ∈ S | V | . {\\displaystyle \\pi (\\sigma )=Z(\\beta )^{-1}e^{-\\beta H(\\sigma )},\\quad \\sigma \\in S^{|V|}.}
Die `F33f`_`[freie Energie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Freie_Energie]`_`f ist wie üblich:
F ( β β ) = − − β β − − 1 ln ( Z ( β β ) ) , β β ∈ ∈ ] 0 , ∞ ∞ [ . {\\displaystyle F(\\beta )=-\\beta ^{-1}\\ln(Z(\\beta )),\\quad \\beta \\in {]0,\\infty [}.}
>>Literatur
• Julius Ashkin, Edward Teller: Statistics of Two-Dimensional Lattices With Four Components. In: `F33f`_`[Phys. Rev.`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Physical_Review]`_`f 64. Jahrgang, Nr. 5–6, 1943, S. 178–184, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1103/PhysRev.64.178, `F33f`_`[bibcode`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bibcode]`_`f:1943PhRv...64..178A.
• Renfrey B. Potts: Some Generalized Order–Disorder Transformations. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 48. Jahrgang, Nr. 1, 1952, S. 106–109, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1017/S0305004100027419, `F33f`_`[bibcode`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bibcode]`_`f:1952PCPS...48..106P.
• Fa-Yueh Wu: The Potts model. In: `F33f`_`[Reviews of Modern Physics`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reviews_of_Modern_Physics]`_`f. 54. Jahrgang, Nr. 1, 1982, S. 235–268, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1103/RevModPhys.54.235, `F33f`_`[bibcode`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bibcode]`_`f:1982RvMP...54..235W.
>>Einzelnachweise
`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f `F33f`_`[C.Domb`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Cyril_Domb]`_`f, J. Phys. A, Band 7, 1974, S. 1335
`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f `F33f`_`[S.Dietrich`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Siegfried_Dietrich_(Physiker)]`_`f, in `*Phase transitions and critical phenomena`* (Hrsg. `F33f`_`[C. Domb`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Cyril_Domb]`_`f und `F33f`_`[J.L. Lebowitz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Joel_Lebowitz]`_`f), Band 12, 1988
`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f `F33f`_`[W.Selke`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Walter_Selke]`_`f, `F33f`_`[W.Pesch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Werner_Pesch]`_`f, Z. Phys. B, Band 47, 1982, S. 335
`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f `F33f`_`[P. W. Kasteleyn`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Pieter_Kasteleyn]`_`f, C.M. Fortuin, J. Phys. Soc. Japan, Band 26 (Suppl.),1969, S. 11
`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f `F33f`_`[D.P.Landau`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=David_P._Landau]`_`f, `F33f`_`[K.Binder`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kurt_Binder]`_`f, `*A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics`*, 2014
`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a